다면체 & 정다면체

  평면 다각형들을 면으로 가지고 있는 입체도형으로 평면 위에 있지 않은 도형입니다.

기하학에서 다면체는 보통 틈이 없이 다각형의 변을 붙인 여러 개의 다각형을 조합한 3차원 입체를 말합니다. 다면체는 볼록 다면체와 오목 다면체로 분류합니다.
현대 수학에서 아직 상식적으로 다면체로 받아들여지는 대상들을 포괄할 수 있는 엄밀한 정의는 존재하지 않습니다. 유클리드부터 시작해서 요하네스 케플러, 푸앵소, 코시 등 시도한 수학자들은 많은데 결과는 좋지 않았습니다. 그래서 우리는 다행히도 직관적으로만 이해하면 됩니다.

다면체는 이들의 구성요소로 이루어진 도형이다.
0차원: 꼭짓점은 변이 끝나는 점이다.
1차원: 변 또는 모서리는 꼭짓점과 꼭짓점을 연결하는 선이며, 면과 면의 경계선이기도 하다.
2차원: 면은 변들로 둘러싸여 있으며, 대체로 다각형이라는 평면 도형의 형태를 취한다.
3차원: 포(cell) 혹은 내부(body)는 면들로 둘러싸인 안쪽 부분을 말한다.

모든 변이 같은 정다각형이고, 꼭짓점에 같은 수의 다각형이 모이는 다면체를 정다면체라고 합니다. 정다각형이 무한히 많은 것과 대비되게 정다면체는 다섯밖에 없습니다.

반면, 일반적 다면체의 구조는 상상을 초월하도록 다양하게 나올 수 있습니다. 사면체는 각 면의 다각형 수를 보았을 때 한 가지 형태만 있지만 오면체부터는 두 개 이상이 있습니다. 육면체의 경우 사각형 6개로 이루어진 육면체, 오각뿔, 삼각쌍뿔의 세 종류입니다. 이런 방식으로 계속 면의 수를 늘리다 보면 매우 다양한 다면체를 만들 수 있습니다.

다면체를 임의의 차원으로 확장한 폴리토프(Polytope)는 'n 차원 공간 내에 존재하면서 오로지 (n-1) 차원 공간의 면으로만 이루어진 도형'으로 생각할 수 있습니다.
 
정다면체
 
기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종입니다.
정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말합니다.

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 이렇게 5가지가 일상적인 정다면체라고 할 수 있습니다.

  플라톤의 다면체라고 말하는 볼록 정다면체 5종과 일상적으로는 정다면체라고 부르지 않는 오목 정다면체 4종까지 일컫는 말입니다. 따라서 정다면체는 모두 9개입니다. 예로부터 정다면체는 다섯 가지만이 존재한다고 알려져 있었는데, 요하네스 케플러는 이 정의에서 사용하는 면을 오목정다각형까지 확장했고, 두 개를 정다면체의 개념에 추가하였습니다. 이후 푸앵소는 이 정의에서 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수를 분수번까지 확장해 케플러가 만든 다면체의 쌍대에 해당하는 두 개의 다면체를 찾아내었습니다.